Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also, guten Morgen. Wir haben ja in der letzten Vorlesung über das lineare Ausgleichsproblem gesprochen.

Diese Ausgleichsrechnung ist für die wichtig, weil es auch vorkommt, dass man ein Simulationsinstrument hat,

zum Beispiel ein Simulationsprogramm, an dem ein Motor filmiert.

In dem Programm, in dem wir ein Modell können, können Sie Parameter einstellen, um die Eigenschaften des konkreten Motors abzubilden.

Parallel dazu haben Sie zum Beispiel einen Messstand, wo Sie eine Messreihe durchführen.

Jetzt soll das Modell an die Messreihe angepasst werden und dann finden Sie die Parameter an die Daten.

Sie wählen die Parameter, die am besten zu den Daten passen.

Das ist so ein Ausgleichsproblem, wo man Fehler, die es dann gibt, also die Parameter wird man eigentlich nie so wählen können,

dass die Messwerte exakt getroffen werden, aber man kann die Abstände zwischen dem vorhergesagten und dem Messwert minimieren.

Das ist dann so ein kleines Quadrateproblem, wo man einfach die Summe der Quadrate dieser Fehler minimiert.

Und über diese Probleme sprechen wir jetzt.

Das ist das lineare Ausgleichsproblem. Im linearen Fall ist es am einpassen. Das kann man auch für nicht-lineare Modelle machen,

aber wir wollen erstmal den linearen Fall verstehen.

Linear ist ein Ausgleichsproblem.

Wir haben ja über lineare Gleichungssysteme gesprochen und die hatten die Gestalt a mal x gleich y.

Die Matrix a ist dabei gegeben.

a ist eine m Kreuz n Matrix und y ist in R hoch m.

Und n ist die Länge ihres Parametervektors und m entspricht hier der Länge der Messreihe.

Sie können ja beliebig viele Messungen machen, das heißt, das m kann dann sehr groß werden.

Dann kommen sie zu einem überbestimmten Gleichungssystem und da werden sie im Allgemeinen keine Lösung in diesem Sinne finden,

sodass die Gleichungen exakt alle erfüllt sind.

Deshalb betrachtet man die Differenz ax – y. Das ist ja ein Vektor im R hoch m, der immer definiert ist.

Und man wählt das x so, dass die Länge, die Norm von ax – y möglichst klein wird.

Gesucht ist ein Parametervektor x aus dem R hoch n für das x, dieser Betrag von ax – y minimal wird.

Das kann man auch ganz kurz schreiben.

Also minimiere über alle x aus dem R hoch n Norm von ax – y.

Das hat die Form eines Minimierungsproblems.

Man hat hier die Größe, die zu animieren ist, die ist reellwertig und die x, die variieren über den ganzen Raum.

Das darf man eigentlich so erstmal gar nicht hinschreiben.

Eigentlich müsste man hinschreiben Infimum über alle x Elemente R hoch n.

Die Zahl Norm von ax – y ist ja immer größer gleich 0, das heißt nach unten beschränkt.

Das heißt das Infimum existiert immer. Minimum schreibt man ja nur, wenn es tatsächlich ein Vektor x im R hoch n gibt,

wo dieser kleinste Wert auch angenommen wird. Das nennt man dann den Minimalwert.

Aber wir hatten ja in der letzten Vorlesung schon den Satz gesehen.

Es gibt immer ein x aus dem R hoch n, sodass dieser kleine Wert, der kleinstmögliche Wert angenommen wird.

Deshalb ist es hier auch erlaubt Minimum zu schreiben.

Das ist wahrscheinlich eine der ersten Minimierungsaufgaben, die Sie sehen.

Wenn man eine Entscheidung treffen möchte unter rationalen Kriterien, dann führt das immer auf sein Optimierungsproblem,

wo man eine Zielfunktion hat und man sucht dann den Entscheidungsvektor so aus, dass die Zielfunktion möglichst kleine Werte hat.

Dieses zu lösen ist jetzt nicht so offensichtlich, aber zum Glück ist das Äquivalent zu den Normallgleichungen.

Die bekommt man, indem man diese Gleichung ax gleich y von links mit der Matrix A transponiert multipliziert.

Dann steht er ja A transponiert ax gleich A transponiert y. Ich schreibe es nochmal hin.

Wir waren also ausgegangen von ax gleich y. Das kann man natürlich von links mit A transponiert multiplizieren.

Dann kommt man zu dieser Gleichung und diese Matrix ist ja jetzt quadratisch eine n Kreuz n Matrix.

Natürlich ist dann der Vektor der rechten Seite auch im R hoch n. Diese Gleichungen haben immer eine Lösung.

Das Minimierungsproblem ist äquivalent zu diesem linearen Gleichungssystem mit einer quadratischen Matrix.

Dieses Gleichungssystem heißt Normallgleichung.

Es gilt, wenn x das Minimierungsproblem löst, dann erfüllt x auch die Normallgleichung und umgekehrt ist jede Lösung der Normallgleichung auch eine Lösung des Minimierungsproblems.

Die Lösung der Normallgleichung muss natürlich nicht eindeutig bestimmt sein.